Instrumentation
Marc Nicollerat
4 Lineare Regression und Kalibrierung
- Berechnung der besten Geraden
- Kalibrierung
- Kette der Kalibrierung
4.1 Berechnung der besten Geraden
Berechnung der besten Geraden der Funktion \[ signal=f(mesurande) \]
Die Kalibrierung des Sensors liefert dem Experimentator eine Reihe von zugehörigen Punkten (xi, yi), die selbst bei einem theoretisch linearen Sensor aufgrund von Messungenauigkeiten oder Unvollkommenheiten bei der Herstellung des Sensors nicht unbedingt alle auf einer Linie liegen.
Lösung: Die Berechnung Der “besten Geraden”!
4.2 Beste Gerade
Wir suchen eine Gerade, die den Fehler zwischen den Messungen und den berechneten Punkten minimiert. Dies läuft auf die Suche nach \(a\) und \(b\) in der Gleichung der Geraden hinaus : \[ y = a\cdot x + b \]
Wenn man N Punkte \(x_i\), \(y_i\) misst, hat man N Messfehler \(\sigma_i=y(x_i) - y_i\).
Wir definieren : \[ S = \sum_{i=1}^{N}{\sigma_i^2} \] den wir minimieren wollen, indem wir \(a\) und \(b\) gut auswählen.
Important
Es handelt sich um eine lineare Regressionsgerade, die auf der Methode der kleinsten Quadrate basiert.
4.3 Berechnung der Koeffizienten der besten Geraden
Man kann die Koeffizienten der besten Geraden mit den folgenden Gleichungen berechnen:
\[ \begin{array}a S_1=\sum_{i=1}^N{1}=N && S_x=\sum_{i=1}^N{x_i} \\ S_y=\sum_{i=1}^N{y_i} && S_{xx}=\sum_{i=1}^N{x_i^2} \\ S_{xy}=\sum_{i=1}^N{x_i \cdot y_i} \\ D=S_1 \cdot S_{xx} - S_x^2 \\ a=\frac{S_1 \cdot S_{xy} - S_x \cdot S_{y} }{D} && b=\frac{S_y \cdot S_{xx} - S_x \cdot S_{xy}}{D} \end{array} \]
oder mit Python :
4.4 Auflösung mit Matrizenrechnung
Wir können das Problem mit Hilfe der Matrizenrechnung lösen :
\[ \begin{array}a \matrix y=\matrix{ A} \cdot \matrix{ \theta} \\ A = \left[ \begin{array}a x_1 && 1 \\ ... && ... \\ x_N && 1 \end{array} \right], \theta = \left[ \begin{array}a a \\ b \end{array} \right], y = \left[\begin{array}a y_1 \\ ... \\ y_N \end{array}\right] \\ E2 =\sum_{i=1}^N\sigma_i^2 =( \matrix{ y}- \matrix{ A} \cdot \matrix{ \theta})^T \cdot (\matrix y-\matrix A \cdot \matrix{ \theta}) \\ E2 =y^T y - (A { \theta})^T y-y^T A { \theta}+(A { \theta})^T A { \theta} \\ E2 =y^T y - 2(A { \theta})^T y + (A { \theta})^T A { \theta} \\ \frac{\partial E2}{\partial \theta}=-2*A^Ty+2A^TA{ \theta} \\ \theta =(A^TA)^{-1}A^Ty \end{array} \]
4.5 Übung
Praktisch!
Seien die folgenden drei Kalibrierungspunkte :
- \(x\) entspricht dem Messwert (gemessen in ˚C).
- \(y\) entspricht dem Signal (gemessen in Volt).
| i | x | y |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 3 |
| 3 | 5 | 5 |
- Bestimmen Sie a und b der besten Geraden durch die Kalibrierungspunkte.
- Wie hoch ist die Empfindlichkeit des Sensors?
4.6 Kalibrierung
Bei der Kalibrierung wird überprüft, ob ein Instrument richtig und mit der vereinbarten Genauigkeit funktioniert.
4.6.1 Vergleich mit einer Referenz
4.6.2 Vergleich mit einem Referenzinstrument
4.7 Kalibrierungskette
Damit alle die gleichen Referenzen haben, ist das System pyramidenförmig aufgebaut.
Jedes Land hat sein eigenes Institut!
4.8 Übungen
Kalibrierung
- Übungen nach separater Angabe, 4.1,4.2 und 4.3
- ex_4.1-und-kalibrierung-durch-vergleich.ipynb
Instrumentation 2025-2026