Instrumentation

Marc Nicollerat

4 Lineare Regression und Kalibrierung

  • Berechnung der besten Geraden
  • Kalibrierung
  • Kette der Kalibrierung

4.1 Berechnung der besten Geraden

Berechnung der besten Geraden der Funktion \[ signal=f(mesurande) \]

Die Kalibrierung des Sensors liefert dem Experimentator eine Reihe von zugehörigen Punkten (xi, yi), die selbst bei einem theoretisch linearen Sensor aufgrund von Messungenauigkeiten oder Unvollkommenheiten bei der Herstellung des Sensors nicht unbedingt alle auf einer Linie liegen.

Lösung: Die Berechnung Der “besten Geraden”!

4.2 Beste Gerade

Wir suchen eine Gerade, die den Fehler zwischen den Messungen und den berechneten Punkten minimiert. Dies läuft auf die Suche nach \(a\) und \(b\) in der Gleichung der Geraden hinaus : \[ y = a\cdot x + b \]

Wenn man N Punkte \(x_i\), \(y_i\) misst, hat man N Messfehler \(\sigma_i=y(x_i) - y_i\).

Wir definieren : \[ S = \sum_{i=1}^{N}{\sigma_i^2} \] den wir minimieren wollen, indem wir \(a\) und \(b\) gut auswählen.

Important

Es handelt sich um eine lineare Regressionsgerade, die auf der Methode der kleinsten Quadrate basiert.

4.3 Berechnung der Koeffizienten der besten Geraden

Man kann die Koeffizienten der besten Geraden mit den folgenden Gleichungen berechnen:

\[ \begin{array}a S_1=\sum_{i=1}^N{1}=N && S_x=\sum_{i=1}^N{x_i} \\ S_y=\sum_{i=1}^N{y_i} && S_{xx}=\sum_{i=1}^N{x_i^2} \\ S_{xy}=\sum_{i=1}^N{x_i \cdot y_i} \\ D=S_1 \cdot S_{xx} - S_x^2 \\ a=\frac{S_1 \cdot S_{xy} - S_x \cdot S_{y} }{D} && b=\frac{S_y \cdot S_{xx} - S_x \cdot S_{xy}}{D} \end{array} \]

oder mit Python :

Code
import numpy as np
poly=np.polyfit(Gs, RSs,1)
poly
array([2.01069999, 2.98818088])

4.4 Auflösung mit Matrizenrechnung

Wir können das Problem mit Hilfe der Matrizenrechnung lösen :

\[ \begin{array}a \matrix y=\matrix{ A} \cdot \matrix{ \theta} \\ A = \left[ \begin{array}a x_1 && 1 \\ ... && ... \\ x_N && 1 \end{array} \right], \theta = \left[ \begin{array}a a \\ b \end{array} \right], y = \left[\begin{array}a y_1 \\ ... \\ y_N \end{array}\right] \\ E2 =\sum_{i=1}^N\sigma_i^2 =( \matrix{ y}- \matrix{ A} \cdot \matrix{ \theta})^T \cdot (\matrix y-\matrix A \cdot \matrix{ \theta}) \\ E2 =y^T y - (A { \theta})^T y-y^T A { \theta}+(A { \theta})^T A { \theta} \\ E2 =y^T y - 2(A { \theta})^T y + (A { \theta})^T A { \theta} \\ \frac{\partial E2}{\partial \theta}=-2*A^Ty+2A^TA{ \theta} \\ \theta =(A^TA)^{-1}A^Ty \end{array} \]

4.5 Übung

Praktisch!

Seien die folgenden drei Kalibrierungspunkte :

  • \(x\) entspricht dem Messwert (gemessen in ˚C).
  • \(y\) entspricht dem Signal (gemessen in Volt).
i x y
1 1 2
2 3 3
3 5 5
  1. Bestimmen Sie a und b der besten Geraden durch die Kalibrierungspunkte.
  2. Wie hoch ist die Empfindlichkeit des Sensors?

4.6 Kalibrierung

Bei der Kalibrierung wird überprüft, ob ein Instrument richtig und mit der vereinbarten Genauigkeit funktioniert.

4.6.1 Vergleich mit einer Referenz

refM Grandeur étalon refV Grandeur étalon refM->refV Instr Instrument à étalonner refM->Instr output valeur lue output->refV Instr->output

4.6.2 Vergleich mit einem Referenzinstrument

refM Grandeurs arbitraires Instr Instrument à étalonner refM->Instr InstrR Instrument de référence refM->InstrR refV valeurs de référence output valeurs lues output->refV Instr->output InstrR->refV

4.7 Kalibrierungskette

Damit alle die gleichen Referenzen haben, ist das System pyramidenförmig aufgebaut.

Jedes Land hat sein eigenes Institut!

4.8 Übungen

Kalibrierung

  • Übungen nach separater Angabe, 4.1,4.2 und 4.3
  • ex_4.1-und-kalibrierung-durch-vergleich.ipynb